Книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» — первая в мире монография по математическому анализу. В течение 30 лет ее изучали все математики Европы. Изложенный в ней «принцип Кавальери» до сих пор во многих странах входит в школьные программы по геометрии.
Это было удивительное время — время величайшего триумфа и величайшего позора математики. Триумфа— потому что математика после долгих столетий, когда ее рассматривали как никому не нужную академическую науку — вроде богословия,— вдруг стала всем нужна! Нужно было рассчитывать работу механизмов, траектории небесных тел. Позора — потому что математика того времени решить эти задачи не смогла: просто не успеть было давать абсолютно строгие обоснования всех результатов — и тогда математикой занялись физики на своем физическом уровне строгости.
«Со времени древних греков говорить «математика» — это значит говорить «доказательство» (Н. Бурбаки), но, увы, на два столетия требование математической строгости было забыто. Это может показаться парадоксальным, но ни до XVII в., ни сейчас ни один математический журнал не напечатал бы работу, написанную на том уровне строгости, на каком писали Ньютон и Лейбниц,— автору рекомендовали бы напечататься в физическом издании. Одним из этих физиков, занявшихся математикой, был великий Галилей. Изучая ускоренное движение, он на интуитивном уровне пришел к идее интегрирования, но систематически развить свои идеи не успел — это сделал его ученик, профессор Болонского университета Бонавентура Кавальери. Его основной труд «Геометрия» был первым систематическим изложением результатов новой математики—той области ее, которую мы сейчас называем математическим анализом. Он показал, что основные результаты, полученные в этой области, можно вывести, если добавить к строгим методам, идущим от греческой математики, специальный метод неделимых: площадь есть совокупность всех сечений тела прямыми, параллельными данной, объем — совокупность сечений плоскостями. Метод вычисления — «принцип Кавальери»: два тела одинаковой высоты имеют один и тот же объем, если плоские сечения этих тел на одном и том же уровне имеют одинаковые площади.
У этой книги завидная судьба: она стала одним из звеньев в цепи, приведшей к развитию современной математики. Книгу внимательно изучали математики всей Европы. У Кавальери появились последователи. Один из них — англичанин Исаак Барроу,— развив дальше методы учителя, открыл, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Последователями Кавальери были получены практически все основные результаты анализа—но геометрический язык изложения (площади, объемы вместо формул) делал их работы громоздкими и трудноприменимыми. Оставался один шаг: перевести анализ на удобный и привычный нам язык формул. С современной точки зрения, это сделать было нетрудно: ведь уже в 1637 г. вышла книга Декарта «Геометрия», в которой излагалась идея системы координат, позволяющая выразить любую фигуру числовой функцией. Но этот перевод потребовал 30 лет, и сделал его в 1667 г. ученик Барроу Исаак Ньютон. Это был грандиознейший триумф: сложнейшие задачи механики земной и небесной были решены. Барроу был настолько потрясен успехами ученика, что уступил ему кафедру в Кембридже (случай нечастый в академической практике). Пока неторопливый Ньютон готовил к публикации свои результаты — их получил (независимо от Ньютона) и опубликовал немецкий математик Лейбниц. После работ Ньютона и Лейбница книга Кавальери стала представлять интерес только для историков науки, которые ее переиздавали и комментировали (в 1940 г. вышел русский перевод), но математики ее не читали.
Кроме анализа, книга содержит и чисто геометрические идеи. Кавальери первым определил цилиндр и конус с произвольным основанием (до него рассматривали только основание— круг). Дальнейшие результаты Кавальери вошли в его вторую книгу «6 геометрических этюдов» (1647). Но оставался нерешенным важный вопрос: для вычисления объема многогранников Кавальери использовал свой принцип, Архимед— свой специальный метод исчерпывания. Конечно, использование этих дополнительных принципов облегчает доказательство, но нужны ли они? Нельзя ли обойтись эвклидовыми постулатами? Этим вопросом безуспешно занимался великий Гаусс, Гильберт в 1900 г. включил его в число своих 23 проблем, которые математика XIX в. оставляла веку двадцатому. В 1900 г. Ден доказал, что можно каждому многограннику сопоставить число (отличное от его объема) так, что все эвклидовы постулаты объема будут удовлетворены. Стало быть, без принципа Кавальери не обойтись? Но доказательство Дена было чистой «теоремой существования». И только в 1978 г. ученица советского геометра академика А. Д. Александрова О. М. Кошелева конкретизировала доказательство Дена. Без принципа Кавальери действительно можно обойтись. Но к чести Кавальери, нужно отметить, что доказательство столь просто формулируемого утверждения использует разделы математики, которых не было не только в XVII в., но и 20 лет назад (форсинг, измеримые когомологии и т. д.).
В. Я. Крейнович
Памятные книжные даты. М., 1984.
Данный материал является некоммерческим и создан в информационных, научно-популярных и учебных целях. Указанный материал носит справочно-информационный характер.
