90 лет со дня выхода книги «Основания математики» Давида Гильберта

Монография «Основания математики» Д. Гильберта и П. Бернайса — последняя книга одного из авторов — великого немецкого математика Давида Гильберта вышла в 1934 году

 

Он писал ее с 1917 г., но не будет большим преувеличением сказать, что он писал ее всю жизнь. «Его груды и его вдохновляющая личность оказали глубокое влияние на развитие математических наук вплоть до настоящего времени. Его проникновенная интуиция, его творческая мощь и неповторимая оригинальность математического мышления, широта и разносторонность интересов сделали его первооткрывателем во многих областях математики»,— писал о нем великий французский математик Пуанкаре.

При такой тяге к ясности, четкости он не мог не полюбить аксиоматический метод — известный каждому со школьного курса геометрии путь построения теории, когда заранее формулируется список свойств исследуемых объектов (список аксиом) и в дальнейшем при доказательстве разрешается использовать только эти свойства. В такой форме он хотел представить всю математику, всю физику — да и все на свете. И он действительно во многом преуспел: в различных областях математики и физики есть названные его именем теоремы, уравнения, преобразования, пространства, методы.

Начал Гильберт с самого трудного для аксиоматизации — с геометрии: хотя аксиомы для геометрии есть еще у Эвклида, но и у Эвклида, и у последующих геометров, кроме аксиом, в доказательствах использовались и «геометрически очевидные» факты, т. е. ссылки на наглядность.

Гильберт стремился доказывать геометрические факты, не обращаясь к геометрическим наглядным представлениям, используя любые условные названия для объектов — лишь бы выполнялись аксиомы. В образной форме он выражал эту мысль так: «Следует добиться того, чтобы во всех геометрических утверждениях слова точка, прямая, плоскость можно было заменить словами стол, стул, кружка». Такую задачу он поставил себе в 1891 г., и через несколько лет аксиоматика была готова, как и все выходившее из-под его пера, в виде законченной, идеально отделанной книги под названием «Основания геометрии». После геометрии он замахнулся на всю математику — шаг необычно смелый, ибо в отличие от геометрии, в которой время жарких дискуссий уже давно уступило место всеобщему согласию, в области оснований математики царил хаос. После открытия парадоксов в теории множеств многие крупные математики считали, что вместе с теорией множеств потерпел крушение и формальный метод, что нужно руководствоваться интуицией — путь, абсолютно неприемлемый для Гильберта. Гильберт решил так: раз старые аксиомы оказались противоречивы, значит, нужно найти новые аксиомы. Но как убедиться, что эти аксиомы не приведут опять к противоречию?

При попытках решения этого вопроса Гильберту очень помог его крайний рационализм. Раз все что угодно может быть объектом формального описания, решил Гильберт, значит, нужно построить формальную аксиоматическую теорию… доказательств и в ней доказать непротиворечивость аксиом математики. До Гильберта считалось, что математика исследует объекты и явления реального, объективного мира, а такую субъективную вещь, как доказательство, должны изучать психологи; Гильберт первым удачно применил математику к описанию субъективного. Но где гарантия, что нет противоречий в аксиомах для теории доказательств? Гильберт предложил такой путь: ни у кого нет сомнений в непротиворечивости рассуждений о конечных объектах (такие рассуждения называют финитными), противоречия появляются, только когда мы переходим к рассмотрению бесконечных совокупностей. Поэтому, если в теории доказательств ограничиться финитными рассуждениями, то сомнений в непротиворечивости теории доказательств не будет.

Попытки построить теорию доказательств с использованием только финитных рассуждений оборвались в 1904 г., когда друг Гильберта Герман Минковский увлек его математическими задачами, связанными с физикой. Физика в это время была в еще большем хаосе, чем математика,— вспомним, что еще не было ни теории относительности, ни квантовой теории атома, были только классические теории и противоречащие им эксперименты (да и после работ Эйнштейна по теории относительности и Бора по атомной теории физика была еще далека от математических требований строгости рас-суждений). «Физика слишком сложна для физиков»,— решил Гильберт и стал заниматься физикой сам. Физическая деятельность Гильберта оказалась очень продуктивной: достаточно сказать, что он впервые строго изложил кинетическую теорию газов, открыл уравнения общей теории относительности независимо от Эйнштейна и всего на девять дней позже, чем Эйнштейн (к чести обоих надо отметить, что это привело не к приоритетным спорам, а к дружеской переписке). Однако, перейдя к квантовой теории, Гильберт после нескольких попыток аксиоматизировать ее понял, что здесь в отличие от других физических теорий не обойтись известными математическими моделями, нужны новые. Он вернулся в математику.

Весной 1917 г. Гильберт, познакомившись в Цюрихе с молодым математиком Паулем Бернайсом, предложил ему место ассистента для совместной работы по основаниям математики. Это сотрудничество продолжалось до 1934 г. Окончательной целью было написание книги «Основания математики», и эта цель была достигнута, хотя книга писалась необычно долго. Вначале работа шла очень успешно: теория доказательств была построена, в ее рамках была доказана непротиворечивость нескольких математических теорий, все были полны энтузиазма, но в 1931 г. проекту Гильберта был нанесен серьезный удар: К. Гедель доказал, что финитными рассуждениями невозможно доказать непротиворечивость даже для арифметики. Казалось бы — трагедия. Но кого угодно мог подкосить такой удар—только не этого вечного оптимиста Гильберта. По словам Бернайса, услышав от него о теореме Геделя, Гильберт был всего лишь… «слегка рассержен» и почти сразу же предложил новую идею, позволяющую обойти теорему Геделя — расширение класса допустимых рас-суждений с финитных до более общих. К этому моменту Гильберту было уже около семидесяти лет, он уже был на пенсии, часто болел, забывал названия улиц — словом, выглядел стариком, но только не в математике. Здесь он был по-прежнему неутомим, и к 1933 г.— в срок, рекордный для такой фундаментальной книги — она была в основном готова.

Удар по творчеству Гильберта нанесли нацисты — за их приходом к власти последовал разгром немецкой науки. В частности, без работы оказался Бернайс. Гильберт стал платить ему сам, и к 1934 г. первый том был завершен и вышел в свет. Второй том им вместе готовить не удалось: нацисты добились, чтобы Бернайс уехал из Германии. Второй том Бернайс писал уже сам (вышел он в 1939 г.).

Нужно отметить героизм издателя— Фердинанда Шпрингера (не путать с его братом — известным реакционером!). В отличие от многих своих коллег он заботился не столько о прибыли, сколько о науке: он дружил со многими математиками и, хотя сам не обладал математическим талантом, старался им помочь. В 20-е гг., в период инфляции и кризиса, он даже с убытком для себя печатал практически все книги немецких математиков, а в 1934 и 1939 гг., несмотря на запреты и угрозы нацистов, ухитрился напечатать в Берлине книгу, один из авторов которой был вынужден покинуть Германию, как «неариец».
Эта книга сыграла эпохальную роль для оснований математики. Именно с ее появлением математическая логика окончательно оформилась в самостоятельную дисциплину со своими задачами, методами и проблемами. Книга, написанная, как и все у Гильберта, четко и обстоятельно, привлекла к проблемам оснований математики молодых способных людей во всех странах мира. Сразу же начался бурный расцвет оснований. В 1934 г. С. Клини и в 1936 г. Черч, используя идеи книги, показали, что чисто формально, не апеллируя к интуиции, можно описать не только понятие «доказательство», но и понятие «вычисления». Казалось бы — зачем это нужно — ведь и так понятно? Да, но понятно — человеку. А если это можно изложить чисто формально, значит, в принципе для вычислений не обязателен творчески мыслящий человек — они могут быть проделаны чисто механически. И действительно, в ближайшее десятилетие появились электронно-вычислительные машины, в основе теории которых лежат математическая логика и формальная теория вычислимости.

Книга оказала влияние не только на логику. Эта книга — торжество аксиоматического метода, и ее успех убедил многих скептиков в том, что формализация возможна всюду. Сейчас никого уже не шокируют системы аксиом для биологии, различных разделов лингвистики — не говоря уже о математике и физике.

Блестящий стиль этой книги оказал огромное влияние на язык многих учебников по математической логике. При подготовке второго немецкого издания (1968) Бернайсу не пришлось ничего переделывать. Поныне этой книгой пользуются и профессиональные математики, пытающиеся в обстоятельно изложен ных идеях основоположников найти путь решения своих проблем, и особенно те, кто только начинает изучать математическую логику.

Большой популярностью эта книга пользуется и у нас в стране, особенно с 50-х гг., когда бурно стала развиваться логика, когда появились первые ЭВМ. Тогда же встал вопрос о русском переводе книги, но по причинам технического характера она вышла только в 1979 г.

В. Я. Крейнович

 

Памятные книжные даты. М., 1984.

ПОДЕЛИТЕСЬ ЗАПИСЬЮ

---